Question

如圖：兩點分別在射線上移動，

且,為坐標(biāo)原點，動點滿足

（1）求點的軌跡的方程;

（2）設(shè)，過作（1）中曲線的兩條切線，切點分別

為，①求證:直線過定點;

②若,求的值。

 

Answer 1

（1） ；（2）②.

【解析】

試題分析：（1） 設(shè)動點的坐標(biāo)為，由

另由

于是由此可消去上參數(shù)方程中的參數(shù)而得點的軌跡方程.

（2）①設(shè)，先用導(dǎo)數(shù)求出雙曲線在處的切線，利用兩切線均過點得到直線的方程并進一步證明其過定點.

②由①可知，設(shè)直線的方程為，易知且，

所以可利用方程組消去得，再結(jié)合韋達定理解決.

【解析】
（1）由已知得，，即

設(shè)坐標(biāo)為，由得：

∴，消去可得，

∴軌跡的方程為： 4分

（2）①由（1）知，即

設(shè)，則，

∴，即，

∵在直線上，∴ ⑴同理可得， ⑵

由⑴⑵可知， ∴直線過定點 9分

②由①可知，設(shè)直線的方程為，易知且，將直線的方程代入曲線C的方程得：

∴

又

即 ∴ 13分

考點：1、動點軌跡方程的求法；2、平面向量的數(shù)量積；3、直線與圓錐曲線的綜合問題.