【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=log2( +a).
(1)當(dāng)a=5時,解不等式f(x)>0;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個元素,求a的取值范圍.
(3)設(shè)a>0,若對任意t∈[ ,1],函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.
【答案】
(1)
解:當(dāng)a=5時,f(x)=log2( +5),
由f(x)>0;得log2( +5)>0,
即 +5>1,則 >﹣4,則 +4= >0,即x>0或x<﹣ ,
即不等式的解集為{x|x>0或x<﹣ }
(2)
解:由f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0得log2( +a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0.
即log2( +a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],
即 +a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,①
則(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,
即(x+1)[(a﹣4)x﹣1]=0,②,
當(dāng)a=4時,方程②的解為x=﹣1,代入①,成立
當(dāng)a=3時,方程②的解為x=﹣1,代入①,成立
當(dāng)a≠4且a≠3時,方程②的解為x=﹣1或x= ,
若x=﹣1是方程①的解,則 +a=a﹣1>0,即a>1,
若x= 是方程①的解,則 +a=2a﹣4>0,即a>2,
則要使方程①有且僅有一個解,則1<a≤2.
綜上,若方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個元素,則a的取值范圍是1<a≤2,或a=3或a=4.
(3)
解:函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,
由題意得f(t)﹣f(t+1)≤1,
即log2( +a)﹣log2( +a)≤1,
即 +a≤2( +a),即a≥ ﹣ =
設(shè)1﹣t=r,則0≤r≤ ,
= = ,
當(dāng)r=0時, =0,
當(dāng)0<r≤ 時, = ,
∵y=r+ 在(0, )上遞減,
∴r+ ≥ ,
∴ = = ,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥ .
【解析】(1)當(dāng)a=5時,解導(dǎo)數(shù)不等式即可.
(2)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,討論a的取值范圍進(jìn)行求解即可.
(3)根據(jù)條件得到f(t)﹣f(t+1)≤1,恒成立,利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
本題主要考查函數(shù)最值的求解,以及對數(shù)不等式的應(yīng)用,利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)P(x,y)不是原點(diǎn)時,定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′( , ),當(dāng)P是原點(diǎn)時,定義“伴隨點(diǎn)”為它自身,現(xiàn)有下列命題:
①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′,則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A.
②單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上.
③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對稱
④若三點(diǎn)在同一條直線上,則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線.
其中的真命題是 .
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1 .
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
()若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
()求函數(shù)的極值.
()若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為激勵創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( )
(參考數(shù)據(jù):lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
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【題目】某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價為5元,銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如圖所示.
銷售單價/元 | … | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | 8.5 | … |
日均銷售量/桶 | … | 480 | 460 | 440 | 420 | 400 | 380 | … |
請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:,直線過定點(diǎn).
(1)若與圓相切,求的方程;
(2)若與圓相交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,又與的交點(diǎn)為,判斷是否為定值.若是,求出定值;若不是,請說明理由.
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【題目】節(jié)能減排以來,蘭州市100戶居民的月平均用電量單位:度,以分組的頻率分布直方圖如圖.
求直方圖中x的值;求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
估計(jì)用電量落在中的概率是多少?
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