Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.

（1）求直線的斜率的取值范圍；

（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線交軸于，直線交軸于，，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值2，理由見解析.

【解析】

（1）將點(diǎn)P代入拋物線方程，即可求得p的值，設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，由△＞0，排除特殊情況，即可求得k的取值范圍；

（2）根據(jù)向量的共線定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直線PA的方程，令x＝0，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)表示，即可求得λ+μ為定值．

（1）拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，

根據(jù)題意得過點(diǎn)（0，1）的直線斜率存在，設(shè)方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；

聯(lián)立方程，，可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，

∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，

故直線l的斜率的取值范圍（﹣∞，0）∪（0，1）；

（2）設(shè)點(diǎn)M（0，yM），N（0，yN），則 （0，1﹣yM），（0，1）；

因?yàn)?/span>λ，所以1＝λ（1﹣yM），故λ，同理μ，

直線PA的方程為y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），

令x＝0，得yM，同理可得yN，

因?yàn)?/span>λ+μ

2，

即有λ+μ為定值2．