Question

【題目】為了提高生產(chǎn)效益，某企業(yè)引進(jìn)了一批新的生產(chǎn)設(shè)備，為了解設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量情況，分別從新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，各隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，所有產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值均在（15，45]以內(nèi)，規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值大于30的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，質(zhì)量指標(biāo)值在（15，30]的產(chǎn)品為合格品.舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值如頻率分布直方圖所示，新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值如頻數(shù)分布表所示.

質(zhì)量指標(biāo)	頻數(shù)
（15，20]	2
（20，25]	8
（25，30]	20
（30，35]	30
（35，40]	25
（40，45]	15
合計	100

（1）請分別估計新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率.

（2）優(yōu)質(zhì)品率是衡量一臺設(shè)備性能高低的重要指標(biāo)，優(yōu)質(zhì)品率越高說明設(shè)備的性能越高.根據(jù)已知圖表數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表（單位：件），并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量高與新設(shè)備有關(guān)”.

	非優(yōu)質(zhì)品	優(yōu)質(zhì)品	合計
新設(shè)備產(chǎn)品
舊設(shè)備產(chǎn)品
合計

附：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

，其中.

（3）用頻率代替概率，從新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，其中優(yōu)質(zhì)品數(shù)為X件，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）70%，55%（2）見解析，有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量高與新設(shè)備有關(guān)”.（3）見解析，2.1

【解析】

（1）由頻數(shù)分布表可知，將（30，45]的頻數(shù)相加，再除以100，即為新設(shè)備的優(yōu)質(zhì)品率；由頻率分布直方圖可知，將（30，45]的頻率/組距相加，再乘以組距即為舊設(shè)備的優(yōu)質(zhì)品率；

（2）先填寫2×2列聯(lián)表，再根據(jù)的公式計算其觀測值，并與附表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比即可作出判斷；

（3）由（1）知，新設(shè)備所生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品率為0.7，而X的所有可能取值為0，1，2，3，然后根據(jù)二項分布求概率的方式逐一求出每個X的取值所對應(yīng)的概率即可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望.

（1）估計新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為，

估計舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為

（2）補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下所示，

	非優(yōu)質(zhì)品	優(yōu)質(zhì)品	合計
新設(shè)備產(chǎn)品	30	70	100
舊設(shè)備產(chǎn)品	45	55	100
合計	75	125	200

∴，

∴有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量高與新設(shè)備有關(guān)”.

（3）由（1）知，新設(shè)備所生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品率為0.7，而X的所有可能取值為0，1，2，3，

∴，

，

，

.

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.027	0.189	0.441	0.343

數(shù)學(xué)期望.