Question

已知圓O：x²+y²=1，圓C：（x-4）²+（y-4）²=1，由兩圓外一點(diǎn)P（a，b）引兩圓切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，如圖，滿足|PA|=|PB|；
（Ⅰ）將兩圓方程相減可得一直線方程l：x+y-4=0，該直線叫做這兩圓的“根軸”，試證點(diǎn)P落在根軸上；
（Ⅱ）求切線長(zhǎng)|PA|的最小值；
（Ⅲ）給出定點(diǎn)M（0，2），設(shè)P、Q分別為直線l和圓O上動(dòng)點(diǎn)，求|MP|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|PA|=|PB|，知|PO|²=|PC|²?a²+b²=（a-4）²+（b-4）²，由此能夠?qū)С鳇c(diǎn)P（a，b）落在根軸l：x+y-4=0上；
（2）由|PA|²=|PO|²-1=a²+b²-1=a²+（4-a）²-1=2a²-8a+15=2（a-2）²+7，知當(dāng)a=2時(shí)即P為（2，2）點(diǎn)時(shí)有．
（3）作M（0，2）關(guān)于直線L：x+y=4的對(duì)稱點(diǎn)N，求得N（2，4），連接NO則NO分別與直線L、圓O的交點(diǎn)即為使|PM|+|PQ|的值最小的點(diǎn)P、Q，由此能夠求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）|PA|=|PB|?|PO|²=|PC|²?a²+b²=（a-4）²+（b-4）²?a+b-4=0
即點(diǎn)P（a，b）落在根軸l：x+y-4=0上；（3分）
（2）|PA|²=|PO|²-1=a²+b²-1=a²+（4-a）²-1=2a²-8a+15=2（a-2）²+7
∴當(dāng)a=2時(shí)即P為（2，2）點(diǎn)時(shí)有（6分）
（3）作M（0，2）關(guān)于直線L：x+y=4的對(duì)稱點(diǎn)N，求得N（2，4），連接NO則NO分別與直線L、圓O的交點(diǎn)即為使|PM|+|PQ|的值最小的點(diǎn)P、Q；（8分）
證明如下：
在L上任取不同于點(diǎn)P的P₁點(diǎn)，連接P₁O交圓O于Q₁，則|P₁M|+|P₁Q₁|=|P₁M|+|P₁O|-1=|P₁N|+|P₁O|-1＞|NO|-1，而|PM|+|PQ|=|PM|+|PO|-1=|PN|+|PO|-1=|NO|-1，故得證；（11分）
下求|PM|+|PQ|的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)：
（|PM|+|PQ|）_Min=|NO|-1=，
聯(lián)立ON與直線L的方程可得．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和公式的合理選用．