Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;(2)存在3個(gè)零點(diǎn).

【解析】

(1)先確定的定義域,通過求導(dǎo)數(shù)解出其單調(diào)區(qū)間;

(2)利用函數(shù)有極值,判斷的取值范圍,進(jìn)而確定極值點(diǎn)的大小關(guān)系,得到的單調(diào)區(qū)間,最后通過極值的正負(fù)判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(1)由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí):,所以單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí):,所以單調(diào)遞減;

所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

(2)由題意得:有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根設(shè)為,由(1)得當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;有當(dāng)時(shí),所以時(shí),有使且函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

現(xiàn)只需比較的正負(fù)進(jìn)而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

有且且,即,.

令則所以函數(shù)在上單調(diào)增,所以時(shí)

時(shí)又時(shí)時(shí)

所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).