Question

【題目】已知，函數有兩個零點．

(Ⅰ)求實數的取值范圍；

(Ⅱ)證明：．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)利用導數求得函數的單調性及函數的最大值，即可求解實數的取值范圍；

(Ⅱ) 構造新函數，利用導數得到函數的單調性，證得，進而利用基本不等式，即可作出證明．

(Ⅰ)由題意，函數，可得，

①時，，在上遞增，不合題意，舍去，

②當時，令，解得；令，解得；

故在單調遞增，在上單調遞減，

由函數有兩個零點，

其必要條件為：且，即，

此時，，且，

令，()，

則，在上單調遞增，

所以，，即，

故的取值范圍是．

(Ⅱ)令，

令，則，可得在單調遞增，在單調遞減，

由(Ⅰ)知，故有，

令，()，

，()，，

所以，在單調遞減，故，

故當時，，

所以，而，故，

又在單調遞減，，

所以，即，

故．