【題目】對于正整數集合(,),如果去掉其中任意一個元素()之后,剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合,且這兩個集合的所有元素之和相等,就稱集合為“和諧集”.
(1)判斷集合是否為“和諧集”,并說明理由;
(2)求證:集合是“和諧集”;
(3)求證:若集合是“和諧集”,則集合中元素個數為奇數.
【答案】(1)不是;理由見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)根據集合中這5個數字的特征,可以去掉2即可判斷出集合不是“和諧集”;
(2)集合去掉任意一個元素進行分類討論,找到符合題意的兩個集合即可證明集合是“和諧集”;
(3)判斷任意一個元素()的奇偶性相同,分類討論,可以證明出若集合是“和諧集”,則集合中元素個數為奇數.
(1)當集合去掉元素2時,剩下元素組成兩個集合的交集為空集有以下幾種情況:
,經過計算可以發(fā)現每給兩個集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和諧集”;
(2)集合所有元素之和為49.
當去掉元素1時,剩下的元素之和為48,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意;
當去掉元素3時,剩下的元素之和為46,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意;
當去掉元素5時,剩下的元素之和為44,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意;
當去掉元素7時,剩下的元素之和為42,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意;
當去掉元素9時,剩下的元素之和為40,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意;
當去掉元素11時,剩下的元素之和為38,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意;
當去掉元素13時,剩下的元素之和為36,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意;
(3)設正整數集合(,)所有元素之和為,由題意可知
均為偶數,因此任意一個元素()的奇偶性相同.
若是奇數,所以()也都是奇數,由于,顯然為奇數;
若是偶數, 所以()也都是偶數.此時設()顯然也是“和諧集”,重復上述操作有限次,便可以使得各項都為奇數的“和諧集”,此時各項的和也是奇數,集合中元素的個數也是奇數,
綜上所述:若集合是“和諧集”,則集合中元素個數為奇數.
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【題目】已知函數, .
(1)若曲線的一條切線經過點,求這條切線的方程.
(2)若關于的方程有兩個不相等的實數根x1,x2。
①求實數a的取值范圍;
②證明: .
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【題目】某高中生調查了當地某小區(qū)的50戶居民由于臺風造成的經濟損失,將收集的數據分成三組,并作出如下頻率分布直方圖:
(1)在直方圖的經濟損失分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,并以經濟損失落入該區(qū)間的頻率作為經濟損失取該區(qū)間中點值的概率(例如:經濟損失則取,且的概率等于經濟損失落入的頻率),F從當地的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助,設抽出的2戶的經濟損失的和為,求的分布列和數學期望.
(2)臺風后居委會號召小區(qū)居民為臺風重災區(qū)捐款,此高中生調查的50戶居民捐款情況如下表,在表格空白處填寫正確數字,并說明是否有95%以上的把握認為捐款數額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關?
經濟損失不超過4000元 | 經濟損失超過4000元 | 合計 | |
捐款超過500元 | 30 | ||
捐款不超過500元 | 6 | ||
合計 |
附:臨界值表參考公式: .
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形, M為PD的中點,PA⊥平面ABCD,PA=AD= 4, AB = 2.
(1)求證:AM⊥平面MCD;
(2)求直線PC與平面MAC所成角的正弦值.
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【題目】如圖,橢圓 的左右焦點分別為的、,離心率為;過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點,當時, 點在軸上的射影為。連結并延長分別交于、兩點,連接; 與的面積分別記為, ,設.
(Ⅰ)求橢圓和拋物線的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍.
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【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝4臺發(fā)電機的水電站,過去0年的水文資料顯示,水庫年入流量(年入流量:一年內上游來水與庫區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不足120的年份有30年,不低于120且不足160的年份有8年,不低于160的年份有2年,將年入流量在以上四段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的年入流量相互獨立.
(1)求在未來3年中,至多1年的年入流量不低于120的概率;
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量的限制,并有如下關系:
若某臺發(fā)電機運行,則該臺發(fā)電機年利潤為500萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺發(fā)電機年虧損1500萬元,水電站計劃在該水庫安裝2臺或3臺發(fā)電機,你認為應安裝2臺還是3臺發(fā)電機?請說明理由.
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【題目】已知某幾何體直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
(1)求證: ;
(2);
(3)設為中點,在邊上找一點,使//平面并求.
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【題目】如圖,在長方體中, 分別為的中點, 是上一個動點,且.
(1)當時,求證:平面平面;
(2)是否存在,使得?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】在5件產品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,以為概率的事件是( )
A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品
C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品
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