Question

輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅(jiān)硬的場(chǎng)地上滑行的運(yùn)動(dòng)．如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運(yùn)動(dòng)員通過(guò)助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米的平臺(tái)上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE（拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi)），D為這段拋物線的最高點(diǎn)．現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，x軸在地面上，助跑道一端點(diǎn)A（0，4），另一端點(diǎn)C（3，1），點(diǎn)B（2，0），單位：米．
（Ⅰ）求助跑道所在的拋物線方程；
（Ⅱ）若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點(diǎn)C處有相同的切線，為使運(yùn)動(dòng)員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運(yùn)動(dòng)員的飛行距離在4米到6米之間（包括4米和6米），試求運(yùn)動(dòng)員飛行過(guò)程中距離平臺(tái)最大高度的取值范圍？
（注：飛行距離指點(diǎn)C與點(diǎn)E的水平距離，即這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值．）

Answer 1

分析：（1）設(shè)助跑道所在的拋物線方程為f（x）=a₀x²+b₀x+c₀，由題意，助跑道一端點(diǎn)A（0，4），另一端點(diǎn)C（3，1），點(diǎn)B（2，0），得出方程組，由此能求出結(jié)果．
（2）設(shè)飛行軌跡所在拋物線方程為g（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由題意知

f(3)=g(3) f′(3)=g′(x)

，由此入手能求出g（x）有最大值，用飛行過(guò)程中距離平臺(tái)最大高度，利用不等關(guān)系即可得出運(yùn)動(dòng)員飛行過(guò)程中距離平臺(tái)最大高度的取值范圍．

解答：解：（I）設(shè)助跑道所在的拋物線方程為f（x）=a₀x²+b₀x+c₀，
由題意知

c0=4 4a0+2b0+c0=0 9a0+3b0+c0=0

解得a₀=1，b₀=-4，c₀=4，
∴助跑道所在的拋物線方程為y=x²-4x+4．
（II）設(shè)飛行軌跡所在拋物線方程為g（x）=ax²+bx+c，（a＜0）
由題意知

f(3)=g(3) f′(3)=g′(x)

，得

9a+3b+c=1 6a+b=2

，解得

b=2-6a c=9a-5

∴g（x）=ax²+（2-6a）x+9a-5=a（x-

3a-1

a

）²+1-

1

a

，
令g（x）=1，得（x-

3a-1

a

）²=

1

a2

，
∵a＜0，∴x=

3a-1

a

-

1

a

=3-

2

a

，
當(dāng)x=

3a-1

a

時(shí)，g（x）有最大值1-

1

a

，
則運(yùn)動(dòng)員飛行距離d=3-

2

a

-3=-

2

a

，飛行過(guò)程中距離平臺(tái)最大高度h=1-

1

a

-1=-

1

a

，
依題意4≤-

2

a

≤6，得2≤-

1

a

≤3．
飛行過(guò)程中距離平臺(tái)最大高度的取值范圍在2米到3米之間．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．