Question

輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅(jiān)硬的場地上滑行的運(yùn)動．如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運(yùn)動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE（拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi)），D為這段拋物線的最高點(diǎn)．現(xiàn)在運(yùn)動員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，x軸在地面上，助跑道一端點(diǎn)A（0，4），另一端點(diǎn)C（3，1），點(diǎn)B（2，0），單位：米．
（Ⅰ）求助跑道所在的拋物線方程；
（Ⅱ）若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點(diǎn)C處有相同的切線，為使運(yùn)動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運(yùn)動員的飛行距離在4米到6米之間（包括4米和6米），試求運(yùn)動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍？
（注：飛行距離指點(diǎn)C與點(diǎn)E的水平距離，即這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對值．）

Answer 1

解：（I）設(shè)助跑道所在的拋物線方程為f（x）=a₀x²+b₀x+c₀，
由題意知
解得a₀=1，b₀=-4，c₀=4，
∴助跑道所在的拋物線方程為y=x²-4x+4．
（II）設(shè)飛行軌跡所在拋物線方程為g（x）=ax²+bx+c，（a＜0）
由題意知，得，解得
∴g（x）=ax²+（2-6a）x+9a-5=a（x-）²+1-，
令g（x）=1，得（x-）²=，
∵a＜0，∴x=，
當(dāng)x=時(shí)，g（x）有最大值1-，
則運(yùn)動員飛行距離d=3--3=-，飛行過程中距離平臺最大高度h=1--1=-，
依題意4≤-≤6，得2≤-≤3．
飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍在2米到3米之間．
分析：（1）設(shè)助跑道所在的拋物線方程為f（x）=a₀x²+b₀x+c₀，由題意，助跑道一端點(diǎn)A（0，4），另一端點(diǎn)C（3，1），點(diǎn)B（2，0），得出方程組，由此能求出結(jié)果．
（2）設(shè)飛行軌跡所在拋物線方程為g（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由題意知，由此入手能求出g（x）有最大值，用飛行過程中距離平臺最大高度，利用不等關(guān)系即可得出運(yùn)動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．