Question

【題目】如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去，用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，寫(xiě)出線段的垂直平分線方程，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）的中點(diǎn)在直線上，結(jié)合判別式可得的取值范圍，表示出（關(guān)于的函數(shù)），最后構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求最值．

（1）易知，，

設(shè)的中點(diǎn)為，

則，

所以，即．

設(shè)直線的方程是，

與拋物線方程聯(lián)立，得，消去得，，，

所以，故，所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

的垂直平分線方程是，令，得，故．

（2）因?yàn)?/span>的中點(diǎn)在直線上，

所以，又，

所以．

所以．

令，，則，

設(shè)，，則，

易得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，所以．