Question

已知a，b為兩個正數，且a>b，設，當n≥2，n∈N*時，。
（1）求證：數列{a_n}是遞減數列，數列{b_n}是遞增數列；
（2）求證：a_n+1-b_n+1＜；
（3）是否存在常數C>0，使得對任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1）證明：易知對任意n∈N*，a_n>0，b_n>0
由a≠b，可知，即a₁>b₁
同理，，即a₂>b₂
可知對任意n∈N*，a_n>b_n

所以數列{a_n}是遞減數列

所以數列{b_n}是遞增數列。
（2）證明：
。
（3）由
可得
若存在常數C>0，使得對任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C，
則對任意n∈N*，
即對任意n∈N*成立，
即對任意n∈N*成立，
設[x]表示不超過x的最大整數，
則有
即當時，
與對任意n∈N*成立矛盾
所以，不存在常數C>0，使得對任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C。