Question

已知a，b為兩個(gè)正數(shù)，且a＞b，設(shè)a₁=，b₁=，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，a_n=，b_n=．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（Ⅱ）求證：a_n+1-b_n+1＜（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）易知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．根據(jù)基本不等式可知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞b_n，判定符號(hào)可得數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，，從而得到數(shù)列{b_n}的單調(diào)性； 
（II）根據(jù)題意可知，然后利用放縮法即可證得結(jié)論；
（III）若存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，則對(duì)任意n∈N^*，，即對(duì)任意n∈N^*成立，設(shè)[x]表示不超過(guò)x最大整數(shù)，則有，即當(dāng)時(shí)，與對(duì)任意n∈N^*成立矛盾．從而所以，不存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C．
解答：（共13分）
（Ⅰ）證明：易知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．
由a≠b，可知，即a₁＞b₁．
同理，，即a₂＞b₂．
可知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞b_n．，
所以數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．，
所以數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．              …（5分）
（Ⅱ）證明：．…（10分）
（Ⅲ）解：由，可得．
若存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，
則對(duì)任意n∈N^*，．
即對(duì)任意n∈N^*成立．
即對(duì)任意n∈N^*成立．
設(shè)[x]表示不超過(guò)x最大整數(shù)，則有．
即當(dāng)時(shí)，．
與對(duì)任意n∈N^*成立矛盾．
所以，不存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C． …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的單調(diào)性的判定，以及利用放縮法證明不等式，同時(shí)考查了橫成立問(wèn)題，屬于難題．