Question

【題目】已知兩個(gè)不共線的向量，夾角為，且，，為正實(shí)數(shù)．

（1）若與垂直，求的值；

（2）若，求的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，并指出此時(shí)向量與的位置關(guān)系．

（3）若為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為，垂直；（3）時(shí)，，時(shí)，，

時(shí)，.

【解析】

（1）根據(jù)垂直關(guān)系計(jì)算得到，再根據(jù)向量夾角公式得到答案.

（2）計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值，計(jì)算得到位置關(guān)系.

（3）根據(jù)題意平方得到二次方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到范圍，討論和，三種情況，計(jì)算得到答案.

（1），故，

故，故.

（2），

當(dāng)時(shí)，最小為，故的最小值為，

此時(shí)，故向量與垂直.

（3），即，展開(kāi)整理得到，

故，且，解得.

取得到，即，

當(dāng)，即，即時(shí)，；

當(dāng)，即且，即時(shí)，

；

當(dāng)，即，即時(shí)，.

綜上所述：時(shí)，，時(shí)，，

時(shí)，.