Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2= ，且an+1= （n=2，3，4…）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：對一切n∈N* ， 有 ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，a2= ，且an+1= （nkkk=2，3，4…），

∴當(dāng)n≥2時， = ，

兩邊同時除以n，得 ，

∴ =﹣（ ），

∴ =﹣ =﹣（1﹣ ）

∴ =﹣（1﹣ ），n≥2，

∴ ，

∴an= ，n≥2，

當(dāng)n=1時，上式成立，

∴an= ，n∈N*

（2）證明：當(dāng)k≥2時， = ，

∴當(dāng)n≥2時，

=1+ ＜1+ [（ ）+（ ）+…+（ ）]

=1+ ＜1+ = ，

又n=1時， ，

∴對一切n∈N*，有 ak2＜

【解析】（1）當(dāng)n≥2時， = ，從而 =﹣（ ），進(jìn)而得到 =﹣（1﹣ ），由此能求出an= ，n∈N* ． （2）當(dāng)k≥2時， = ，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明對一切n∈N* ， 有 ＜ ．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．