【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=kx2+2x(k為實常數(shù))為奇函數(shù),函數(shù)g(x)=af(x)﹣1(a>0且a≠1).
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求g(x)在[﹣1,2]上的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)a=時,g(x)≤t2﹣2mt+1對所有的x∈[﹣1,1]及m∈[﹣1,1]恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)由f(﹣x)=﹣f(x)得 kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x,
∴k=0.
(Ⅱ)∵g(x)=af(x)﹣1=a2x﹣1=(a2x﹣1(13分)
①當(dāng)a2>1,即a>1時,g(x)=(a2x﹣1在[﹣1,2]上為增函數(shù),∴g(x)最大值為g(2)=a4﹣1.
②當(dāng)a2<1,即0<a<1時,∴g(x)=(a2x在[﹣1,2]上為減函數(shù),
∴g(x)最大值為

(Ⅲ)由(Ⅱ)得g(x)在x∈[﹣1,1]上的最大值為,
∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1,1]上恒成立
令h(m)=﹣2mt+t2 , ∴

所以t∈(﹣∞,﹣2]∪{0}∪[2,+∞).
【解析】(Ⅰ)利用函數(shù)是奇函數(shù),建立方程,即可求k的值;
(Ⅱ)對a分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求g(x)在[﹣1,2]上的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)a=時,g(x)≤t2﹣2mt+1對所有的x∈[﹣1,1]及m∈[﹣1,1]恒成立,等價于1≤t2﹣2mt+1在[﹣1,1]上恒成立,構(gòu)建新函數(shù),即可求實數(shù)t的取值范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,需要了解當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減;當(dāng)時,當(dāng)時,;當(dāng)時在上遞減,當(dāng)時,才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直二面角中,四邊形是邊長為2的正方形,,上的點,且平面.

(1)求證:;

(2)求二面角的余弦值;

(3)求點到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在中, , , 邊上的高,沿折起,使。

(Ⅰ)證明:平面平面;

(Ⅱ)的中點,求與底面所成角的正切值。

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【題目】如圖1, 在直角梯形中, , , 為線段的中點. 沿折起,使平面 平面,得到幾何體,如圖2所示.

1)求證: 平面

2)求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù), (其中).對于不相等的實數(shù),設(shè), .現(xiàn)有如下命題:

(1)對于任意不相等的實數(shù),都有;

(2)對于任意的a及任意不相等的實數(shù),都有;

(3)對于任意的a,存在不相等的實數(shù),使得;

(4)對于任意的a,存在不相等的實數(shù),使得.

其中的真命題有_____________(寫出所有真命題的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小題滿分13分)已知函數(shù)為常數(shù),

(1)若是函數(shù)的一個極值點,求的值;

(2)求證:當(dāng)時,上是增函數(shù);

(3)若對任意的,總存在,使不等式成立,求正實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表如下:

第一行:1

第二行:1 2

第三行:1 1 2 3

第四行:1 1 2 1 1 2 3 4

第五行:1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5

…… …… ……

行:先抄寫第1行,接著按原序抄寫第2行,然后按原序抄寫第3行,...,直至按原序抄寫第行,最后添上數(shù).(如第四行,先抄寫第一行的數(shù)1,接著按原序抄寫第二行的數(shù)1,2,接著按原序抄寫第三行的數(shù)1,1,2,3,最后添上數(shù)4).

將按照上述方式寫下的第個數(shù)記作(如

(1)用表示數(shù)表第行的數(shù)的個數(shù),求數(shù)列的前項和;

(2)第8行中的數(shù)是否超過73個?若是,用表示第8行中的第73個數(shù),試求的值;若不是,請說明理由;

(3)令,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)處的切線方程為

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若為整數(shù),當(dāng)時, 恒成立,求的最大值(其中的導(dǎo)函數(shù)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)為偶函數(shù),求b的值;
(2)若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),試求a、b應(yīng)滿足的條件.

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