【題目】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合,且該橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).

1)求橢圓的方程;

(2)設直線與橢圓相交于不同的兩點,已知點的坐標為,在線段的垂直平分線上,且,的值.

【答案】(1)(2)

【解析】】試題分析: 由拋物線方程求得焦點坐標,求得的值,由雙曲線的離心率公式求得其離心率,則,即可求得橢圓的半長軸的值,則,即可求得半短軸,即可求得橢圓的方程;

將直線方程代入橢圓方程,由韋達定理求得,則,

,即可求得點坐標,由中點坐標公式求得點坐標,分類當及當時,由,根據(jù)向量的坐標表示,即可求得的值

解析:(I)拋物線的焦點坐標為,所以

雙曲線的離心率為,所以橢圓的離心率,

故橢圓的

所以橢圓方程為:

(II)由(I)知,且直線的斜率必存在,設斜率為,

則直線方程為: ,設點的坐標為

聯(lián)立方程,方程消去整理得:

兩點坐標滿足上述方程,由韋達定理得,

所以

所以, 的坐標為

線段的中點為,則點坐標為

以下分兩種情況:

時,點的坐標為,線段的垂直平分線為軸,于是

時,線段的垂直平分線方程為

,令,解得

所以:

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B.
C.
D.

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