【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為An , 對任意n∈N*滿足 = ,且a1=1,數(shù)列{bn}滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N*),b3=5,其前9項和為63.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)令cn= + ,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn , 若對任意正整數(shù)n,都有Tn≥2n+a,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)將數(shù)列{an},{bn}的項按照“當n為奇數(shù)時,an放在前面;當n為偶數(shù)時,bn放在前面”的要求進行“交叉排列”,得到一個新的數(shù)列:a1 , b1 , b2 , a2 , a3 , b3 , b4 , a4 , a5 , b5 , b6 , …,求這個新數(shù)列的前n項和Sn

【答案】
(1)解:∵ ,∴數(shù)列 是首項為1,公差為 的等差數(shù)列,

,即 ,

,

又a1=1,∴ ,

∵bn+2﹣2bn+1+bn=0,∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,

設{bn}的前n項和為Bn,∵ 且b3=5,

∴b7=9,∴{bn}的公差為 ,


(2)解:由(1)知 ,

∴Tn=c1+c2+…+cn= = =

,

,則 ,

∴數(shù)列{Rn}為遞增數(shù)列,

,

∵對任意正整數(shù)n,都有Tn﹣2n≥a恒成立,∴


(3)解:數(shù)列{an}的前n項和 ,數(shù)列{bn}的前n項和

①當n=2k(k∈N*)時, ;

②當n=4k+1(k∈N*)時, =4k2+8k+1,

特別地,當n=1時,S1=1也符合上式;

③當n=4k﹣1(k∈N*)時,

綜上: ,k∈N*


【解析】(1)由 ,利用等差數(shù)列通項公式可得An , 再利用遞推關系可得an . 由bn+2﹣2bn+1+bn=0,可得數(shù)列
{bn}是等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的求和公式與通項公式即可得出.(2)由(1)知 ,再利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出.(3)數(shù)列{an}的前n項和 ,數(shù)列{bn}的前n項和 .對n分類討論即可得出.

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