已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心.

(1)求證：BC⊥SA
(2)若S在底面ABC內(nèi)的射影為O，證明：O為底面△ABC的中心；
(3)若二面角H—AB—C的平面角等于30°，SA=，求三棱錐S—ABC的體積.

(1)先證明 (2) 先證O為底面△ABC的垂心 (3)

解析試題分析：證明：(1) AH⊥面SBC，BC在面SBC內(nèi)   ∴AH⊥BC
 

,同理,因此

 

 
O為底面△ABC的垂心，而三棱錐S—ABC的底面是正三角形，故O為底面△ABC的中心

 (3)由（1）有SA=SB=SC=，設(shè)CO交AB于F，則CF⊥AB， CF是EF在面ABC內(nèi)的射影，

EF⊥AB，
∠EFC為二面角H—AB—C的平面角，∠EFC=30°，∠ECF=60°，
OC=，SO=3，AB=3，
  
考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三角形中心的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地化空間問題為平面問題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形， ，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求異面直線BS與AC所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，底面△為正三角形的直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，．

（Ⅰ）求證：；  
（Ⅱ）求證：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形與均為菱形，，且.

（1）求證：；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱柱的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱垂直底邊ABCD四棱柱，，
E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，求

（1）求異面直線與B1E所成角的大小；
（2）求四面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是直角梯形，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，且CE∥AB。

求證：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成直二面角,如圖二，在二面角中.

(1)求證：BD⊥AC；
(2)求D、C之間的距離；
(3)求DC與面ABD成的角的正弦值。

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選修4-1：幾何證明選講
如圖，在等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，且相交于點(diǎn)O ,E是AB邊的中點(diǎn)，EO的延長線交CD于F.

（1）求證：EF⊥CD；
（2）若∠ABD=30°,求證

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖4，在三棱柱中，△是邊長為的等邊三角形，
平面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；
（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成最大角的正切值為時(shí)，
求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

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