Question

 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

(Ⅰ)證明：點(diǎn)P在C上；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類問題的基本思路，注意把用坐標(biāo)表示后求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把P點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來。從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn)P在C上。(II)此問題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵是證明互補(bǔ).通過證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可，再求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。

思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心N，然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、B、P、Q的距離相等即可.

【精講精析】 (I)設(shè)

直線，與聯(lián)立得

由得

,

所以點(diǎn)P在C上。

（II）法一：

同理

 

所以互補(bǔ)，

因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上。

法二：由和題設(shè)知，,PQ的垂直平分線的方程為…①

設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，AB的垂直平分線的方程為…②

由①②得、的交點(diǎn)為

,

,,

故.

所以A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓圓N上.