【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ex,g(x)=2xax3,a為實(shí)常數(shù).

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a=-1時(shí),證明:存在x0∈(0,1),使得yf(x)和yg(x)的圖象在xx0處的切線互相平行.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)代入a的值,令hx)=f′(x)﹣g′(x)=exex﹣2+3x2,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

(1)g′(x)=3ax2+2,

當(dāng)a≥0時(shí),g′(x)>0g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,+∞).

當(dāng)a<0時(shí),令g′(x)≥0x,g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[x],

g(x)的單調(diào)減區(qū)間為:(﹣∞,),(,+∞)

(2)當(dāng)a=﹣1時(shí),f′(x)=ex﹣e﹣x,g′(x)=2﹣3x2,

x0∈(0,1),使得y=f(x)y=g(x)的圖象在x=x0處的切線互相平行.

x0∈(0,1)使得f′(x0)=g′(x0),且f(x0)≠g(x0),

h(x)=f′(x)﹣g′(x)=ex﹣e﹣x﹣2+3x2,

h(0)=﹣2<0,h(1)=e2+3>0,

∴x0∈(0,1)使得f′(x0)=g′(x0).

當(dāng)x∈(0,)時(shí),g′(x)>0,當(dāng)x∈(,1)時(shí)g′(x)<0,

所以g(x)在區(qū)間(0,1)的最大值為g(),g(2.

f(x)=ex+e﹣x≥22,

∴x∈(0,1)時(shí)f(x)>g(x)恒成立,∴f(x0)≠g(x0).

從而當(dāng)a=﹣1時(shí),:x0∈(0,1),使得y=f(x)y=g(x)的圖象在x=x0處的切線互相平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】近期,某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動(dòng)推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表l所示:

1

根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如右圖所示的散點(diǎn)圖.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),(c,d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由);

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次;

參考數(shù)據(jù):

其中

參考公式:

對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo);

(2)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間;

(3)若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度)的直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為: 為參數(shù)).

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;

(2)將曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線,若, 分別是曲線和曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值.

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【題目】某群體的人均通勤時(shí)間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng))的成員自駕時(shí),自駕群體的人均通勤時(shí)間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問(wèn)題:

(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間?

(2)求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說(shuō)明其實(shí)際意義.

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1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:

i)設(shè),將表示成的函數(shù);

ii)設(shè),將表示成的函數(shù);

2)請(qǐng)你選用一個(gè)函數(shù)關(guān)系,確定污水廠位置,使鋪設(shè)管道總長(zhǎng)最短.

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某跨國(guó)公司帶來(lái)了高端智能家居產(chǎn)品參展,供購(gòu)商洽談采購(gòu),并決定大量投放中國(guó)市場(chǎng).已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬(wàn)美元,每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90美元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)臺(tái)且全部售完,每萬(wàn)臺(tái)的銷售收入為萬(wàn)美元,

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)美元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬(wàn)臺(tái))的函數(shù)解析式;(利潤(rùn)=銷售收入-成本)

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí),該公司獲得的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).

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【題目】設(shè)函數(shù),且),,(其中的導(dǎo)函數(shù)).

(1)當(dāng)時(shí),求的極大值點(diǎn);

(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,

(1)求函數(shù)的極值點(diǎn);

(2)已知T(,)為函數(shù),的公共點(diǎn),且函數(shù),在點(diǎn)T處的切線相同,求a的值;

(3)若函數(shù)(0,)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,求a的取值范圍

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