Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)方程為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)、兩點(diǎn).

（1）求雙曲線(xiàn)的方程；

（2）若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)是曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率都存在，記為、，試探究的值是否與點(diǎn)及直線(xiàn)有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

（3）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），的值與點(diǎn)及直線(xiàn)無(wú)關(guān)，證明見(jiàn)解析；（3）存在，， ，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)漸近線(xiàn)設(shè)出漸近線(xiàn)方程，將點(diǎn)代入即可求出雙曲線(xiàn)的方程.

（2）根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知道點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)出點(diǎn)、、，將其斜率表示出來(lái)，利用點(diǎn)、在雙曲線(xiàn)上，化簡(jiǎn)即可說(shuō)明為定值且直線(xiàn)與關(guān).

（3）根據(jù)題意設(shè)出直線(xiàn)與點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，表示出，利用為定值，即與斜率無(wú)關(guān)，根據(jù)比值即可求出定點(diǎn)與的值.

（1） 因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為.

所以可設(shè)雙曲線(xiàn)為,

將點(diǎn)代入，解得

所以雙曲線(xiàn)的方程為

（2）直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知道，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

設(shè)點(diǎn) ，，則點(diǎn)

代入，有，

所以，.

將，代入得.

所以，的值與點(diǎn)及直線(xiàn)無(wú)關(guān).

（3）由題意知直線(xiàn)斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)為 ，點(diǎn)、、

由，得 ，且

又，，

所以

令解得，此時(shí)