Question

【題目】已知，為常數(shù)，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）對(duì)于給定的，且，，證明:關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，分，，三種情況討論，求不等式的解集；

（2）當(dāng)時(shí)，，其圖象的對(duì)稱軸為.分，，三種情況討論，即求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè).由，得.對(duì)于給定的，且，，得在區(qū)間上單調(diào)，故在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)，即時(shí)，由得或，

不等式的解集為或.

當(dāng)，即時(shí)，恒成立，不等式的解集為.

當(dāng)，即時(shí)，由得或，

不等式的解集為或.

綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.

（2）當(dāng)時(shí)，，其圖象的對(duì)稱軸為.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

在上存在零點(diǎn)，，即得.

.

當(dāng)，即時(shí)，在上存在零點(diǎn)，

或或或，

解得或或或或.

.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

在上存在零點(diǎn)，，即得.

.

綜上，.

實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）設(shè).

當(dāng)給定時(shí)，為定值.

,

.

又對(duì)于給定的，且，，

在區(qū)間上單調(diào)，即在區(qū)間上單調(diào)，

在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

即方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根.