Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°．

（Ⅰ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB，求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

(I)見解析；(II).

解析試題分析：（I）取得中點(diǎn)，連接，,，由此可證，平面，進(jìn)而可得；（II）易證，,兩兩垂直，以坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7c/6/1wgjz4.png" style="vertical-align:middle;" />軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系，可得,,的坐標(biāo)，設(shè)是平面的一法向量，求出法向量，繼而求得，即為所求角的正弦值.
試題解析：（I）取得中點(diǎn)，連接，,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0f/e/1flmm3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,由于,
所以為等邊三角形，所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6c/1/15o1t4.png" style="vertical-align:middle;" />,所以平面，
又平面，故；
（II）由（Ⅰ）知，，
又∵面面，面面，∴面，∴，
∴, 兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7c/6/1wgjz4.png" style="vertical-align:middle;" />軸正方向，||為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

有題設(shè)知(1,0,0),(0,,0),(0,0,),(－1,0,0),則=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),
設(shè)=是平面的法向量，
則，即，可取