Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C過點(diǎn)，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F，
(Ⅰ)求雙曲線C的方程；
(Ⅱ)命題：“過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A．B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則為定值，且定值是”。命題中涉及了這么幾個(gè)要素：給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸的交點(diǎn)M，AB的長(zhǎng)度與F，M兩點(diǎn)間的距離的比值．
試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于雙曲線C的類似的正確命題，并加以證明；
(Ⅲ)試推廣(Ⅱ)中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）。

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意，可設(shè)雙曲線C的方程為，
由已知得C的一個(gè)焦點(diǎn)，
所以C的另一個(gè)焦點(diǎn)為，
由，
得，
又a=2，
所以，，
所以，雙曲線C的方程為。
(Ⅱ)關(guān)于雙曲線C的類似命題為：過雙曲線的焦點(diǎn)F₁(2，0)作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則為定值，且定值是。
證明如下：由于l與x軸不垂直，可設(shè)直線l的方程為：y=k(x-2)，
①當(dāng)k=0時(shí)，l與x軸重合，，命題正確；
②當(dāng)k≠0時(shí)，由得，
依題意l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，所以，，
設(shè)，
則，，
所以線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
AB的垂直平分線MP的方程為：，
令y=0，解得：，
即，所以，，
又

，
所以，。
(Ⅲ)過圓錐曲線E的焦點(diǎn)F作與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸不垂直的任意直線l交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則為定值，定值是（其中e為圓錐曲線E的離心率）。