Question

（2012•湖南模擬）已知中心在坐標原點焦點在x軸上的橢圓C，其長軸長等于4，離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點E（0，1），問是否存在直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點，且|ME|=|NE|？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可設橢圓的標準方程，利用長軸長等于4，離心率為

2

2

，可求a，c的值，從而b²=a²-c²=2，進而可得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）假設存在這樣的直線l：y=kx+m，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為F（x₀，y₀），根據(jù)|ME|=|NE|，可得

y0-1

x0

•k=-1(x0≠0)，考慮k=0與k≠0情形，由直線方程代入橢圓方程，確定中點坐標，結合判別式，即可確定斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）…（1分）
則由長軸長等于4，即2a=4，所以a=2．…（2分）
又離心率為

2

2

，所以c=

2

，…（3分）
所以b²=a²-c²=2…（4分）
所求橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1…（5分）
（Ⅱ）假設存在這樣的直線l：y=kx+m，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為F（x₀，y₀），
因為|ME|=|NE|，所以MN⊥EF，所以

y0-1

x0

•k=-1(x0≠0)…①
（i）k=0，顯然直線y=m（-

2

＜m＜

2

）符合題意；
（ii）下面僅考慮k≠0情形：
由直線方程代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，可得4k²+2＞m²…②…（7分）
則x₀=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

．…（8分）
代入①式得

m 1+2k2 -1

- 2km 1+2k2

•k=-1，解得m=-1-2k²…（11分）
代入②式得4k²+2＞-1-2k²，得-

2

2

＜k＜

2

2

(k≠0)．
綜上（i）（ii）可知，存在這樣的直線l，其斜率k的取值范圍是（-

2

2

，

2

2

）…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，聯(lián)立方程，確定中點坐標是關鍵．