Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則存在
，使得. 試用這個(gè)結(jié)論證明：若函數(shù)
（其中），則對(duì)任意，都有；
（Ⅲ）已知正數(shù)滿足，求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若時(shí)，都
有.

Answer 1

（Ⅰ） ；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在極值時(shí)有極值求出參數(shù)的值；（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)法求解；（Ⅲ）由已知條件得出，再利用第（Ⅱ）問(wèn)的結(jié)論對(duì)任意，都有求解.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/a/oa9fh.png" style="vertical-align:middle;" />，且
所以，得，此時(shí).
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故                 4分
（Ⅱ）令，
則.
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則根據(jù)結(jié)論可知：存在
使得                                7分
又，
當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞增，；
當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減，；
故對(duì)任意，都有         .           9分
（Ⅲ），且，，
 
同理，                12分
由（Ⅱ）知對(duì)任意，都有，從而
．     14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系；不等式的基本性質(zhì)與證明.