【題目】若函數(shù)f(x)=sin2ax-sin ax·cos ax- (a>0)的圖象與直線y=b相切,并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列.
(1)求a,b的值;
(2)若x0∈,且x0是y=f(x)的零點,試寫出函數(shù)y=f(x)在上的單調(diào)增區(qū)間.
【答案】(1);(2)時,增區(qū)間為和, 時,增區(qū)間為.
【解析】試題分析:(1)先利用二倍角公式和配角公式將函數(shù)解析式進行化簡,再利用直線和曲線相切、等差數(shù)列進行求解;(2)先通過解三角方程得到值,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解.
試題解析:(1)f(x)=sin2ax-sin ax·cos ax-=-sin 2ax-=-sin,
∵y=f(x)的圖象與直線y=b相切,
∴b為f(x)的最大值或最小值,
即b=-1或b=1.
∵切點的橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列,
∴f(x)的最小正周期為,
即T==,a>0,
∴a=2,即f(x)=-sin.
(2)由題意知sin=0,
則4x0+=kπ (k∈Z),
∴x0=-(k∈Z),
由0≤-≤(k∈Z),得k=1或k=2,因此x0=或x0=.
當x0=時,y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和;
當x0=時,y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
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【題目】定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(2)=,且對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證:f(x)為奇函數(shù);
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對任意x∈R恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率為,上、下頂點分別為、,點在橢圓上,且異于點、,直線、與直線: 分別交于點、,且面積的最大值為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求線段的長的最小值.
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【題目】已知函數(shù), ,(其中, 為自然對數(shù)的底數(shù), ……).
(1)令,若對任意的恒成立,求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,設為整數(shù),且對于任意正整數(shù), ,求的最小值.
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【題目】如圖,直線l:y=x+b (b>0),拋物線C:y2=2px(p>0),已知點P(2,2)在拋物線C上,且拋物線C上的點到直線l的距離的最小值為.
(1)求直線l及拋物線C的方程;
(2)過點Q(2,1)的任一直線(不經(jīng)過點P)與拋物線C交于A,B兩點,直線AB與直線l相交于點M,記直線PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在實數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,上頂點為,直線與直線垂直,橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點作橢圓的兩條互相垂直的弦.若弦的中點分別為,證明:直線恒過定點.
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【題目】已知函數(shù) (m,n∈R)在x=1處取得極值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)k為何值時,方程f(x)-k=0只有1個根
(3)設函數(shù)g(x)=x2-2ax+a,若對于任意x1∈R,總存在x2∈[-1,0],使得g(x2)≤f(x1),求a的取值范圍
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【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).當時, .
(1) 求曲線在點處的切線方程;
(2) 若關于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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