【題目】設(shè)數(shù)列滿足,其中,且為常數(shù).
(1)若是等差數(shù)列,且公差,求的值;
(2)若,且數(shù)列滿足對任意的都成立.
①求數(shù)列的前項(xiàng)之和;
②若對任意的都成立,求的最小值.
【答案】(1);(2)①,②.
【解析】分析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可化簡題設(shè)條件,求得的值;
(2)①將代入條件,求得,求得,從而,利用乘公比錯(cuò)位相減,即可求解.
②由恒成立,則對任意都成立,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,即可求解.
詳解:(1)由題意,可得,
化簡得,又,所以.
(2)①將代入條件,可得,解得
所以,則數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比的等比數(shù)列,
所以,從而,
,
兩式相減得:;
所以.
②,所以對任意都成立.
由,則,
所以時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
所以的最大值為,所以的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款,楊老師的微信朋友圈內(nèi)有位好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”,他隨機(jī)選取了位微信好友(女人,男人),統(tǒng)計(jì)其在某一天的走路步數(shù).其中,女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下:
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步數(shù)情況可分為五個(gè)類別: 步)(說明:“”表示大于等于,小于等于.下同), 步), 步), 步), 步及以),且三種類別人數(shù)比例為,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如圖所示的條形圖.
若某人一天的走路步數(shù)超過步被系統(tǒng)認(rèn)定為“衛(wèi)健型",否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“進(jìn)步型”.
(1)若以楊老師選取的好友當(dāng)天行走步數(shù)的頻率分布來估計(jì)所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,請估計(jì)楊老師的微信好友圈里參與“微信運(yùn)動(dòng)”的名好友中,每天走路步數(shù)在步的人數(shù);
(2)請根據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表并據(jù)此判斷能否有以上的把握認(rèn)定“認(rèn)定類型”與“性別”有關(guān)?
衛(wèi)健型 | 進(jìn)步型 | 總計(jì) | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
總計(jì) | 40 |
(3)若從楊老師當(dāng)天選取的步數(shù)大于10000的好友中按男女比例分層選取人進(jìn)行身體狀況調(diào)查,然后再從這位好友中選取人進(jìn)行訪談,求至少有一位女性好友的概率.
附: ,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì),在不考慮其他因素的條件下,某段下水道的排水量V(單位:立方米/小時(shí))是垃圾雜物密度x(單位:千克/立方米)的函數(shù)。當(dāng)下水道的垃圾雜物密度達(dá)到3千克/立方米時(shí),會(huì)造成堵塞,此時(shí)排水量為0;當(dāng)垃圾雜物密度不超過0.5千克/立方米時(shí),排水量是80立方米/小時(shí)。研究表明,當(dāng)時(shí),排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)垃圾雜物密度x為多大時(shí),垃圾雜物量(單位時(shí)間內(nèi)通過某段下水道的垃圾雜物量,單位:千克/小時(shí))可以達(dá)到最大?求出這個(gè)最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下:
組號(hào) | 分組 | 頻率 |
第1組 | [160,165) | 0.05 |
第2組 | [165,170) | 0.35 |
第3組 | [170,175) | ① |
第4組 | [175,180) | 0.20 |
第5組 | [180,185] | 0.10 |
(1)請先求出頻率分布表中①處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù),并完成如圖所示的頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3,4,5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試.
(3)根據(jù)直方圖估計(jì)這次自主招生考試筆試成績的平均數(shù)和中位數(shù);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為已知
(1)求角B的大;
(2)如圖,在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P,使得PB=2,過點(diǎn)P分別作直線BA、BC的垂線PM、PN,垂足分別是M、N,設(shè)∠PBA=求四邊形PMBN的面積的最大值及此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合,集合.
(1)若“”是“”的必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若中只有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】青島二中有羽毛球社乒乓球社和籃球社,三個(gè)社團(tuán)的人數(shù)分別為27,9,18,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)社團(tuán)中抽取6人參加活動(dòng).
(1)求應(yīng)從這三個(gè)社團(tuán)中分別抽取的學(xué)生人數(shù);
(2)將抽取的6名學(xué)生進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為,,,,,,從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽出2名參加體育測試.
①用所給的編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;
②設(shè)事件是“編號(hào)為,的兩名學(xué)生至少有一人被抽到”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)時(shí),證明: .
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