Question

（14分）已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍;

（2）若函數(shù)的圖像在x＝1處的切線的斜率為0，且，已知，求證：;

（3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由.

Answer 1

解析：（1）＝a－b＝0→a＝b

∴＝

要使函數(shù)在定義域（0，）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)

則在（0，）內(nèi)恒大于或恒小于0

當(dāng)a＝0時(shí)，＝在（0，）內(nèi)恒成立

當(dāng)a＝0時(shí)，要使＝恒成立

則

解得

當(dāng)a＝0時(shí)，要使＝恒成立

則a<0

綜上得：a得取值范圍為a0或……………………（4分）

（2）依題意得：＝0  即a+a－2＝0

∴a=1   =

于是＝()=()²－n²+1=

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n＝1時(shí)，   不等式成立

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立

  即也成立

則當(dāng)n＝k+1時(shí)

2(k+1)+2

∴當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式也成立

綜合①②得，對任意^*,有………………（9分）

（3）由（2）

∴

∴ 

累乘得  ，則(n2)

∴

＝

∴……………………（14分）