【題目】如圖,已知拋物線x2=y,點,拋物線上的點,過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.
(1)求直線AP斜率的取值范圍;
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
【答案】(1)(-1,1).(2) .
【解析】試題分析:
(1)通過點在拋物線上,可設(shè),利用斜率公式結(jié)合可得結(jié)論;
(2)通過(1)值, ,設(shè)直線的斜率為,聯(lián)立直線方程可知點坐標(biāo),進(jìn)而可用 表示,計算,通過令,求導(dǎo)結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)論.
試題解析:
(1)由題意得P(x,x2),-<x<.
設(shè)直線AP的斜率為k,
故k==x-∈(-1,1),
故直線AP斜率的取值范圍為(-1,1).
(2)由(1)知P,-<x<,
則直線AP的方程為:y=kx+k+,
直線BQ的方程為:y=-x++,
聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標(biāo)是xQ=,
因為|PA|==(k+1),
|PQ|=(xQ-x)=-,
所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,
令f(k)=-(k-1)(k+1)3,則f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,
當(dāng)k∈時,f′(k)>0;當(dāng)k∈時,f′(k)<0,
所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因此當(dāng)k=時,|PA|·|PQ|取得最大值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的一個焦點與拋物線y2=-4x的焦點相同,且橢圓C上一點與橢圓C的左,右焦點F1,F2構(gòu)成的三角形的周長為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m(k,m∈R)與橢圓C交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,△AOB的重心G滿足: ,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+3|-|2x-a|,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤-5的解集非空,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱,求實數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x+1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤8的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)>|a-2|對任意x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為(其中為常數(shù)).
(1)若直線與曲線恰好有一個公共點,求實數(shù)的值;
(2)若,求直線被曲線截得的弦長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (其中e是自然對數(shù)的底數(shù),k∈R).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個零點時,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 (a>b>0)的離心率為.
(Ⅰ)若原點到直線x+y-b=0的距離為,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A,B兩點,對于橢圓上任意一點M,總存在實數(shù)λ、μ,使等式成立,求λ2+μ2的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若有兩個零點,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年1月,某國宣布成功進(jìn)行氫彈試驗后,A,B,C,D四國領(lǐng)導(dǎo)人及聯(lián)合國主席紛紛表示譴責(zé),就此,某電視臺特別邀請一軍事專家對這一事件進(jìn)行評論,若該軍事專家計劃從A,B,C,D四國及聯(lián)合國主席這5個領(lǐng)導(dǎo)人中任選2人的發(fā)言態(tài)度進(jìn)行評論,那么,他評論的這2人中至少包括A、B一國領(lǐng)導(dǎo)人的概率為( )
A. B. C. D.
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