Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*，λ為常數(shù)），且a₁，a₂+2，a₃成等差數(shù)列．
（1）求λ的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

n2

an+3

，證明：b_n≤

9

16

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，結(jié)合a₁，a₂+2，a₃成等差數(shù)列，即可求λ的值；
（2）由an+1=an+2n+1（n∈N^*），可得an-an-1=2n（n≥2），利用疊加法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）確定數(shù)列{b_n}的通項，可得其單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答：（1）解：因為a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*），
所以a2=a1+λ•21=1+2λ，a3=a2+λ•22=1+6λ．
因為a₁，a₂+2，a₃成等差數(shù)列，
所以a₁+a₃=2（a₂+2），即2+6λ=2（3+2λ），
解得λ=2．
（2）解：由（1）得，λ=2，所以an+1=an+2n+1（n∈N^*），
所以an-an-1=2n（n≥2）．
當(dāng)n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2²+2³+…+2ⁿ=1+

22(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ⁺¹-3．
又a₁=1也適合上式，
所以數(shù)列（-∞，a]的通項公式為an=2n+1-3（n∈N^*）．
（3）證明：由（2）得，an=2n+1-3，所以bn=

n2

2n+1

．
因為bn+1-bn=

(n+1)2

2n+2

-

n2

2n+1

=

-n2+2n+1

2n+2

=

-(n-1)2+2

2n+2

，
當(dāng)n≥3時，-（n-1）²+2＜0，所以當(dāng)n≥3時，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n．
又b1=

1

4

＜b2=

1

2

＜b3=

9

16

，
所以bn≤b3=

9

16

（n∈N^*）．

點評：本小題主要考查等差數(shù)列的概念，考查數(shù)列求和、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識以及運算求解能力、推理論證能力等．