【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為， ， 分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)， 的面積為，直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.

（1）求直線的斜率；

（2）設(shè)平行于的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)， ，且與直線交于點(diǎn)，求證：存在常數(shù)，使得.

【答案】(1) (2) 存在常數(shù)

【解析】試題分析：(1)由題意得到橢圓的方程為. 直線的方程為，聯(lián)立消去得，從而得線段的中點(diǎn) ，進(jìn)而得到直線的斜率；(2) 設(shè)直線的方程為. 聯(lián)立方程得到同理得到

，∴存在常數(shù)，使得.

試題解析：

（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即， ，

所以， ，所以，所以，所以橢圓的方程為.

直線的方程為，聯(lián)立消去得，所以或，

所以，從而得線段的中點(diǎn).

所以直線的斜率為.

（2）由（1）知，直線的方程為，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以， .

所以.

聯(lián)立消去得，

由已知得，又，得.

設(shè)， ，則， ，

， .

所以 ，

，

故 .

所以.所以存在常數(shù)，使得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某大型水上樂(lè)園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地米， 米，以為直徑的半圓和半圓（半圓在矩形內(nèi)部）為兩個(gè)半圓形水上主題樂(lè)園， 都建有圍墻，游客只能從線段處進(jìn)出該主題樂(lè)園.為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益，水上樂(lè)園管理部門決定沿著修建不銹鋼護(hù)欄，沿著線段修建該主題樂(lè)園大門并設(shè)置檢票口，其中分別為上的動(dòng)點(diǎn)， ，且線段與線段在圓心和連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費(fèi)用為元/米，直線部門的平均修建費(fèi)用為元/米.

（1）若米，則檢票等候區(qū)域（其中陰影部分）面積為多少平方米？

（2）試確定點(diǎn)的位置，使得修建費(fèi)用最低.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】現(xiàn)有六支足球隊(duì)參加單循環(huán)比賽（即任意兩支球隊(duì)只踢一場(chǎng)比賽），第一周的比賽中，各踢了場(chǎng)， 各踢了場(chǎng)， 踢了場(chǎng)，且隊(duì)與隊(duì)未踢過(guò)， 隊(duì)與隊(duì)也未踢過(guò)，則在第一周的比賽中， 隊(duì)踢的比賽的場(chǎng)數(shù)是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有甲、乙兩個(gè)桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在范圍內(nèi)（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機(jī)抽取500個(gè)，測(cè)量這些桔柚的直徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答是否有以上的把握認(rèn)為

“桔柚直徑與所在基地有關(guān)”？

（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個(gè)桔柚直徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)：

（3）經(jīng)計(jì)算，甲基地的500個(gè)桔柚直徑的樣本方差，乙基地的500個(gè)桔柚直徑的樣本方差，，并且可認(rèn)為優(yōu)質(zhì)品率較高的基地采摘的桔柚直徑服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.由優(yōu)質(zhì)品率較高的種植基地的抽樣數(shù)據(jù)，估計(jì)該基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78亳米的桔柚在總體中所占的比例.

附：，.

若，則.

，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某城市為鼓勵(lì)人們綠色出行，乘坐地鐵，地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過(guò)地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過(guò)站的地鐵票價(jià)如下表：

乘坐站數(shù)

票價(jià)（元）

現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過(guò)站，且他們各自在每個(gè)站下車的可能性是相同的.

（1）若甲、乙兩人共付費(fèi)元，則甲、乙下車方案共有多少種？

（2）若甲、乙兩人共付費(fèi)元，求甲比乙先到達(dá)目的地的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在傾斜角為的直線上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.

（1）寫出的參數(shù)方程及的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．

（1）若，過(guò)點(diǎn), 的直線與拋物線相交于另一點(diǎn)，求的值；

（2）若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得的長(zhǎng)為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的投影為，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

(1)求的方程；

(2)設(shè)與軸正半軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，與交于另一點(diǎn)為.若以點(diǎn)為圓心，以線段長(zhǎng)為半徑的圓與有4個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸的非負(fù)半軸重合，且長(zhǎng)度單位相同，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線(為參數(shù)).其中.

(1)試寫出直線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程；

(2)若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.

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