【題目】如圖,P是直線x=4上一動(dòng)點(diǎn),以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點(diǎn)B(1,0),直線l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線,過A(﹣1,0)作圓Γ的兩條切線分別與l交于E,F(xiàn)兩點(diǎn).

(1)求證:|EA|+|EB|為定值;
(2)設(shè)直線l交直線x=4于點(diǎn)Q,證明:|EB||FQ|=|BF|EQ|.

【答案】
(1)證明:設(shè)AE切圓于M,直線x=4與x軸的交點(diǎn)為N,則EM=EB,

∴|EA|+|EB|=|AM|= = = =4為定值;


(2)證明:同理|FA|+|FB|=4,

∴E,F(xiàn)均在橢圓 =1上,

設(shè)直線EF的方程為x=my+1(m≠0),令x=4,yQ= ,

直線與橢圓方程聯(lián)立得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,

設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),則y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣

∵E,B,F(xiàn),Q在同一條直線上,

∴|EB||FQ|=|BF|EQ|等價(jià)于﹣y1 +y1y2=y2 ﹣y1y2

∴2y1y2=(y1+y2 ,

代入y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ 成立,

∴|EB||FQ|=|BF|EQ|.


【解析】(1)設(shè)AE切圓于M,則EM=EB,即|EA|+|EB|=|AM|即可求出;
(2)先確定E,F(xiàn)均在橢圓上,設(shè)直線EF的方程為x=my+1(m≠0),聯(lián)立E,B,F(xiàn),Q在同一條直線上,即|EB||FQ|=|BF|EQ|等價(jià)于利用韋達(dá)定理,即可證明。
【考點(diǎn)精析】掌握直線與圓的三種位置關(guān)系是解答本題的根本,需要知道直線與圓有三種位置關(guān)系:無(wú)公共點(diǎn)為相離;有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線;圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切,這條直線叫做圓的切線,這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)f(x)sinxsin xcos2x.

(1)f(x)的最小正周期和最大值;

(2)討論f(x)在()上的單調(diào)性.

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【題目】已知函數(shù)

(1)用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象;

(2)指出f(x)的周期、振幅、初相、對(duì)稱軸;

(3)此函數(shù)圖象由y=sinx的圖象怎樣變換得到?(注:y軸上每一豎格長(zhǎng)為1)

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【題目】已知過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).
(1)設(shè)拋物線在A、B處的切線的交點(diǎn)為M,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,求△ABM的外接圓方程.
(2)若直線l與橢圓 + =1的交點(diǎn)為C,D,問是否存在這樣的直線l使|AF||CF|=|BF||DF|,若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.

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【題目】已知關(guān)于x的不等式|x﹣a|<b的解集為{x|2<x<4}.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z 滿足 + + =1,求x,y,z的最大值和最小值.

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【題目】2015年一交警統(tǒng)計(jì)了某路段過往車輛的車速大小與發(fā)生的交通事故次數(shù),得到如下表所示的數(shù)據(jù):

車速x(km/h)

60

70

80

90

100

事故次數(shù)y

1

3

6

9

11

(Ⅰ)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(Ⅱ)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+;

(Ⅲ)試根據(jù)(Ⅱ)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)在2016年該路段路況及相關(guān)安全設(shè)施等不變的情況下,車速達(dá)到110km/h時(shí),可能發(fā)生的交通事故次數(shù).

(附:b=,=-,其中,為樣本平均值)

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【題目】已知{an}為等差數(shù)列,a3=6,a6=0.

(1){an}的通項(xiàng)公式;

(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1=8,b2=a1+a2+a3,{bn}的前n項(xiàng)和公式.

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【題目】若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列滿足,且.

(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,若不等式 對(duì)一切nN*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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【題目】若點(diǎn)O內(nèi),且滿足,設(shè)的面積, 的面積,則________.

【答案】

【解析】,可得:

延長(zhǎng)OA,OB,OC,使OD=2OA,OE=4OB,OF=3OC,

如圖所示:

2+3+4=,

即O是DEF的重心,

△DOE,△EOF,△DOF的面積相等,

不妨令它們的面積均為1,

AOB的面積為,BOC的面積為AOC的面積為,

故三角形AOB,BOC,AOC的面積之比依次為: =3:2:4,

.

故答案為

點(diǎn)睛:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形面積公式,三角形重心的性質(zhì),平面向量在幾何中的應(yīng)用,注意重要結(jié)論:點(diǎn)O內(nèi),且滿足 則三角形AOB,BOC,AOC的面積之比依次為 .

型】填空
結(jié)束】
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,OAD的中點(diǎn),射線OPOA出發(fā),繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至OD,在旋轉(zhuǎn)的過程中,記OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域(陰影部分)的面積,那么對(duì)于函數(shù)有以下三個(gè)結(jié)論:

;

②任意,都有;

③任意,都有.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________. (把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).

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