【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是線段AB的中點.

(1)求證:C1M∥平面A1ADD1
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= ,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值.

【答案】
(1)解:連接AD1,∵ABCD﹣A1B1C1D1為四棱柱,∴CD C1D1

又M為AB的中點,∴AM=1.

∴CD∥AM,CD=AM,

∴AM C1D1,

∴AMC1D1為平行四邊形,∴AD1∥MC1,又MC1平面A1ADD1,AD1平面A1ADD1,

∴C1M∥平面A1ADD1


(2)解:解法一:∵AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,

∴面D1C1M與ABC1D1共面,

作CN⊥AB,連接D1N,則∠D1NC即為所求二面角,

在ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,

∴CN=

在Rt△D1CN中,CD1= ,CN= ,

∴D1N=

∴cos∠D1CN= = =

解法二:作CP⊥AB于P,以C為原點,CD為x軸,CP為y軸,CD1為z軸建立空間坐標(biāo)系

則C1(﹣1,0, ),D1,(0,0, ),M( , ,0),

=(1,0,0), =( ,﹣ ),

設(shè)平面C1D1M的法向量 =(x1,y1,z1),

,∴ =(0,2,1).

顯然平面ABCD的法向量 =(0,0,1),

cos< >|= = = ,

顯然二面角為銳角,

∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值為


【解析】(1)連接AD1 , 易證AMC1D1為平行四邊形,利用線面平行的判定定理即可證得C1M∥平面A1ADD1;(2)作CP⊥AB于P,以C為原點,CD為x軸,CP為y軸,CD1為z軸建立空間坐標(biāo)系,易求C1(﹣1,0, ),D1 , (0,0, ),M( , ,0), =(1,1,0), =( , ,﹣ ),設(shè)平面C1D1M的法向量 =(x1 , y1 , z1),可求得 =(0,2,1),而平面ABCD的法向量 =(1,0,0),從而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

練習(xí)冊系列答案
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A. 6 B. 8 C. 12 D. 18

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A. B. C. D.

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