【題目】已知圓F1:(x+1)2+y2=16,定點F2(1,0),A是圓F1上的一動點,線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點.
(1)求P點的軌跡C的方程;
(2)四邊形EFGH的四個頂點都在曲線C上,且對角線EG,FH過原點O,
若kEGkFH=-,求證:四邊形EFGH的面積為定值,并求出此定值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(I)利用橢圓的定義,即可求 點的軌跡 的方程;(II)不妨設(shè)點 位于 軸的上方,在直線 的斜率存在,設(shè)的方程為 ,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式及三角形面積公式求四邊形出面積用 表示,化簡消去即可證明結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)因為在線段的中垂線上,所以.
所以,
所以軌跡是以為焦點的橢圓,且,所以,
故軌跡的方程.
(Ⅱ)證明:不妨設(shè)點E、H位于x軸的上方,則直線EH的斜率存在,設(shè)EH的方程為, .
聯(lián)立,得,
則. ①
由,
得. ②
由①、②,得. ③
設(shè)原點到直線EH的距離為,
,
④
由③、④,得,故四邊形EFGH的面積為定值,且定值為.
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn=2an﹣3n,(n∈N*).
(1)證明數(shù)列{an+3}為等比數(shù)列
(2)求{Sn}的前n項和Tn .
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【題目】已知數(shù)列{an}中,已知a1=1, ,
(1)求證數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)若對一切n∈N* , 等式a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n恒成立,求數(shù)列{bn}的通項公式.
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【題目】暑假期間小輝計劃在8月11日至8月20日期間調(diào)研某商業(yè)中心周邊停車場停車狀況,根據(jù)停車場統(tǒng)計數(shù)據(jù),該停車場在此期間“停車難易度”(即停車數(shù)量與核定的最大瞬時容量之比,40%以下為較易,40%~60%為一般,60%以上為較難),情況如圖所示,小輝隨機選擇8月11日至8月19日中的某一天達到該商業(yè)中心,并連續(xù)調(diào)研2天.
(Ⅰ)求小輝連續(xù)兩天都遇上停車場較難的概率;
(Ⅱ)設(shè)是小輝調(diào)研期間遇上停車較易的天數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天停車難易度的方差最大?(結(jié)論不要求證明)
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x>0,A>0)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
(3)設(shè)不相等的實數(shù),x1 , x2∈(0,π),且f(x1)=f(x2)=﹣2,求x1+x2的值.
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【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2 , a4的等差中項. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=anlog2an , 其前n項和為Sn , 若(n﹣1)2≤m(Sn﹣n﹣1)對于n≥2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
(Ⅰ)求實數(shù)、的值;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)曲線上存在兩點、,使得是以坐標(biāo)原點為直角頂點的直角三角形,且斜邊的中點在軸上,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,O為坐標(biāo)原點,點F為拋物線C1: 的焦點,且拋物線C1上點M處的切線與圓C2: 相切于點Q.
(Ⅰ)當(dāng)直線MQ的方程為時,求拋物線C1的方程;
(Ⅱ)當(dāng)正數(shù)p變化時,記S1 ,S2分別為△FMQ,△FOQ的面積,求的最小值.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點的極坐標(biāo)為,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),(1)直線過且與圓相切,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)過點且斜率為的直線與圓交于, 兩點,若,求實數(shù)的值.
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