Question

【題目】定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時， f（x）= ，
則關于x的函數F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點之和為（ ）
A.1﹣2a
B.2a﹣1
C.1﹣2﹣a
D.2﹣a﹣1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵當x≥0時，

f（x）= ；

即x∈[0，1）時，f（x）= （x+1）∈（﹣1，0]；

x∈[1，3]時，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；

x∈（3，+∞）時，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；

畫出x≥0時f（x）的圖象，

再利用奇函數的對稱性，畫出x＜0時f（x）的圖象，如圖所示；

則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個交點，則方程f（x）﹣a=0共有五個實根，

最左邊兩根之和為﹣6，最右邊兩根之和為6，

∵x∈（﹣1，0）時，﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）= （﹣x+1），

又f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣ （﹣x+1）= （1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），

∴中間的一個根滿足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，

解得x=1﹣2a，

∴所有根的和為1﹣2a．

故選：A．

【考點精析】利用函數的零點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點．