【題目】已知函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù);
(2)設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點處的切線,證明:在區(qū)間上存在唯一的,使得直線與曲線相切.
【答案】(1)當時,函數(shù)無極值點,當時,函數(shù)有兩個極值點(2)證明見解析
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo)得,令,分類討論有無零點以及零點與、的相對位置即可得解;
(2)由題意可得切線的方程可表示為,設(shè)直線與曲線相切于點,由題意可得,進而可得,由(1)中結(jié)論即可證明在上存在唯一的根,即可得證.
(1)由題意且,
則,
令,,
①當即時,,
此時,在和單調(diào)遞增,無極值點;
②當時,即當或時,
函數(shù)有兩個零點,
,,
(i)當時,
因為,
所以,
所以函數(shù)在單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時函數(shù)有兩個極值點;
(ii)當時,因為,
所以,此時,在和單調(diào)遞增,無極值點.
綜上所述,當時,函數(shù)無極值點,當時,函數(shù)有兩個極值點.
(2)證明:因為,所以切線的方程可表示為,
設(shè)直線與曲線相切于點,
因為,所以,
消去并整理得,
由(1)可知,當時,函數(shù)在單調(diào)遞增,
又,.
所以函數(shù)在上有唯一的零點,
又因為在單調(diào)遞增,
所以方程在上存在唯一的根,
故在區(qū)間上存在唯一的,使得直線與曲線相切.
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【題目】如圖1,直線將矩形紙分為兩個直角梯形和,將梯形沿邊翻折,如圖2,在翻折的過程中(平面和平面不重合),下面說法正確的是
圖1 圖2
A.存在某一位置,使得平面
B.存在某一位置,使得平面
C.在翻折的過程中,平面恒成立
D.在翻折的過程中,平面恒成立
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【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查,為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗,由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①:將每個人的血分別化驗,這時需要驗1000次.方案②:按個人一組進行隨機分組,把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗,如果每個人的血均為陰性,則驗出的結(jié)果呈陰性,這個人的血只需檢驗一次(這時認為每個人的血化驗次);否則,若呈陽性,則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗,這樣,該組個人的血總共需要化驗次.假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨立.
(1)設(shè)方案②中,某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為,求的分布列;
(2)設(shè),試比較方案②中,分別取2,3,4時,各需化驗的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))
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【題目】橢圓,右焦點為,是斜率為的弦,的中點為,的垂直平分線交橢圓于,兩點,的中點為.當時,直線的斜率為(為坐標原點).
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)原點到直線的距離為,求的取值范圍;
(3)若直線,直線的斜率滿足,判斷并證明是否為定值.
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【題目】20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率直方圖中a的值;
(2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績在[50,70)的學(xué)生中人選2人,求這2人的成績都在[60,70)中的概率.
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【題目】下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間,六個城市售出的往返機票的平均價格(單位元),以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖,以下敘述不正確的是( )
A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價格最高
B.天津的往返機票平均價格變化最大
C.上海和廣州的往返機票平均價格基本相當
D.相比于上一年同期,其中四個城市的往返機票平均價格在增加
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【題目】在直角坐標系中,長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動,點為線段上的點,且滿足.記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若點為曲線上的兩個動點,記,判斷是否存在常數(shù)使得點到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)的值和這個定值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標值劃分等級如下表:
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測后得到如下的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品”的規(guī)定?
(2)在樣本中,按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件,再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動,活動后再抽樣檢測,產(chǎn)品質(zhì)量指標值近似滿足,則“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標值的均值比活動前大約提升了多少?
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【題目】給出下列五個命題,其中正確命題的個數(shù)為( )
①命題“,使得”的否定是“,均有”;
②若正整數(shù)和滿足,則;
③在中 ,是的充要條件;
④一條光線經(jīng)過點,射在直線上,反射后穿過點,則入射光線所在直線的方程為;
⑤已知的三個零點分別為一橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心率,則為定值.
A.2B.3C.4D.5
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