Question

（2012•佛山二模）已知直線l：2x+y+2=0與橢圓C：x²+

y2

4

=1交于A，B兩點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，則使△PAB的面積S為

1

2

的點(diǎn)P的個數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：設(shè)出P₁的坐標(biāo)，表示出四邊形P₁AOB面積S利用兩角和公式整理后．利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值，進(jìn)而求得△P₁AB的最大值，利用

2

-1＜

1

2

判斷出點(diǎn)P不可能在直線AB的下方，進(jìn)而推斷出在直線AB的上方有兩個點(diǎn)P，得到正確的選項．

解答：解：設(shè)P₁（cosα，2sinα）（π＜α＜

3π

2

），即點(diǎn)P₁在第三象限的橢圓上，
考慮四邊形P₁AOB面積S，
可得：S=S_△OAP1+S_△OBP1=

1

2

×1×（-2sinα）+

1

2

×2×（-cosα）=-（sinα+cosα）=-

2

sin（α+

π

4

），
∴S_max=

2

，
∵S_△OAB=

1

2

×1×2=1為定值，
∴S_△P1AB的最大值為

2

-1＜

1

2

，
∴點(diǎn)P不可能在直線AB的下方，顯然在直線AB的上方有兩個點(diǎn)P．
故選C

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同時鍛煉了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．