【題目】平面上有12個點且任意三點不共線.以其中任意一點為始點、另一點為終點作向量且作出所有的向量，其中，三邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這12個點為頂點的零三角形個數(shù)的最大值.

【答案】70

【解析】

設這12個點分別為.這12個點確定的三角形共有個，設以為始點的向量數(shù)為.

若以某三點為頂點的三角形為非零三角形，則有且僅有一個點是此三角形兩邊向量的始點，所以，以為頂點之一且為兩邊始點的非零三角形有個.從而，以這些點為頂點的三角形中非零三角形的總數(shù)為.

因此，零三角形的個數(shù)為.

先求的最小值.

因為，所以，.

而非負整數(shù)不超過11，故有最小值.

由調整法知，當，即當時，取最小值366.

故的最小值為.

因此，以這12個點為頂點的零三角形個數(shù)的最大值為70.

練習冊系列答案
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