【題目】已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)、B(2,2),并且直線m:3x﹣2y=0平分圓C.
(1)求圓C的方程;
(2)若過點(diǎn)D(0,1),且斜率為k的直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)若 =12,求k的值.
【答案】
(1)解:設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2
∵圓C被直線m:3x﹣2y=0平分,∴圓心C(a,b)在直線m上,可得3a﹣2b=0…①,
又∵點(diǎn)A(1,3)、B(2,2)在圓上,∴ …②,
將①②聯(lián)解,得a=2,b=3,r=1.
∴圓C的方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=1
(2)解:過點(diǎn)D(0,1)且斜率為k的直線l方程為y=kx+1,即kx﹣y+1=0,
(I)∵直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N,
∴點(diǎn)C(2,3)到直線l的距離小于半徑r,
即 ,解之得 <k< ;
(II)由 消去y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.
設(shè)直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為M(x1,y1)、N(x2,y2),
可得x1+x2= ,x1x2= ,
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= + +1,
∵ = +( + +1)=12,解之得k=1.
【解析】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 . 由圓C被直線平分可得3a﹣2b=0,結(jié)合點(diǎn)A、B在圓上建立關(guān)于a、b、r的方程組,解出a、b、r的值即可得到圓C的方程;(2)(I)由題意,得直線l方程為kx﹣y+1=0,根據(jù)直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),利用點(diǎn)到直線的距離建立關(guān)于k的不等式,解之即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍;(II)直線l方程與圓C方程聯(lián)解消去y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.設(shè)M(x1 , y1)、N(x2 , y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系、直線l方程和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,化簡 =12得到關(guān)于k的方程,解之即可得到k的值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程即可以解答此題.
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【題目】【南通市、泰州市2017屆高三第一次調(diào)研測試】(本題滿分14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為橢圓上的一點(diǎn),過點(diǎn)O作OP的垂線交直線
于點(diǎn)Q,求的值;
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【題目】要得到y(tǒng)=sin(﹣2x+ )的圖象,只需將y=sin(﹣2x)的圖象( )
A.向左平移 個(gè)單位
B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位
D.向右平移 個(gè)單位
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【題目】已知函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ ≤φ< ),f(0)=﹣ ,且函數(shù)f(x)圖象上的任意兩條對稱軸之間距離的最小值是 .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f( )= ( <α< ),求cos(α+ )的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1=1,且a1 , a3 , a2成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 試求Sn的最大值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=2an﹣2(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1=1,且點(diǎn)P(bn , bn+1)(n∈N*)在直線y=x+2上.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Dn;
(3)設(shè)cn=ansin2 ,求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和T2n .
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【題目】如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直接AB與平面MNQ不平行的是
A. B. C. D.
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【題目】已知是拋物線上一點(diǎn), 到直線的距離為, 到的準(zhǔn)線的距離為,且的最小值為.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)直線交于點(diǎn),直線交于點(diǎn),線段的中點(diǎn)分別為,若,直線的斜率為,求證:直線恒過定點(diǎn).
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