【題目】已知直線y=x+b與函數(shù)f(x)=ln x的圖象交于兩個不同的點A,B,其橫坐標分別為x1,x2,x1<x2.

(1)b的取值范圍;

(2)當(dāng)x2≥2,證明x1·<2.

【答案】(1)b的取值范圍是(-∞,-1);(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)先轉(zhuǎn)化為方程兩個根的情況,再研究函數(shù)g(x)=x-ln x+b單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)圖像確定有兩個零點的條件,即得b的取值范圍;(2)先根據(jù)零點構(gòu)造差函數(shù):g(x1)-g= g(x2)-g,再利用導(dǎo)數(shù)研究差函數(shù)的單調(diào)性,最后根據(jù)單調(diào)性證明不等式.

試題解析:(1)解 由題意可得x-ln x+b=0有兩個不同的實根.

設(shè)g(x)=x-ln x+b(x>0),

g'(x)=1-(x>0).

當(dāng)0<x<1時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>1時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

可得g(x)在x=1處取得最小值b+1,

當(dāng)b<-1時,b=ln x-x在(0,1)和(1,+∞)各有一個實根,

b的取值范圍是(-∞,-1).

(2)證明 由(1)可得0<x1<1,x2>1,g(x1)=g(x2)=0,

g(x1)-g=(x1-ln x1+b)-=(x2-ln x2+b)-=x2-3ln x2-+ln 2.

h(t)=t--3ln t+ln 2,

h'(t)=1-

=.

當(dāng)t≥2時,h'(t)≥0,h(t)單調(diào)遞增,

h(t)≥h(2)=-2ln 2>0,

所以當(dāng)x2≥2時,g(x1)-g>0,

g(x1)>g.

因為g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,且0<x1<1,0<<1,

所以x1<,可得x1·<2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(Ⅰ)若曲線與曲線在公共點處有共同的切線,求實數(shù)的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,試問函數(shù)是否有零點?如果有,求出該零點;若沒有,請說明理由.

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【題目】已知點在橢圓, 為橢圓的右焦點, 分別為橢圓的左,右兩個頂點.若過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點,且線段的斜率之積為.

1求橢圓的方程;

2已知直線相交于點證明: 三點共線.

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【題目】某小店每天以每份5元的價格從食品廠購進若干份食品,然后以每份10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的食品還可以每份1元的價格退回食品廠處理.

(Ⅰ)若小店一天購進16份,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:份,)的函數(shù)解析式;

(Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量(單位:份),整理得下表:

日需求量

14

15

16

17

18

19

20

頻數(shù)

10

20

16

16

15

13

10

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

(i)小店一天購進16份這種食品,表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(ii)以小店當(dāng)天利潤的期望值為決策依據(jù),你認為一天應(yīng)購進食品16份還是17份?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中.

(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能,求出實數(shù),若不能,請說明理由;

(Ⅱ)求最大的整數(shù),使得對任意,不等式恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖四棱錐中, 平面,底面是梯形, , , , 的中點, 上一點,且).

(1)若時,求證: 平面;

(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求異面直線與直線所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,且直線與曲線交于兩點.

(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;

(Ⅱ)把直線軸的交點記為,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)有兩個極值點,且

)求的取值范圍,并討論的單調(diào)性.

)證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt中, ,點、分別在線段、上,且,將沿折起到的位置,使得二面角的大小為.

(1)求證:;

(2)當(dāng)點為線段的靠近點的三等分點時,求與平面 所成角的正弦值.

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