【題目】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分別為AC、DC的中點.

(1)求證:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.

【答案】
(1)證明:由題意,以B為坐標原點,在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,易得B(0,0,0),A(0,﹣1, ),D( ,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0, ),F(xiàn)( , ,0),所以 =( ,0,﹣ ), =(0,2,0),因此 =0,所以EF⊥BC.
(2)解:在圖中,設(shè)平面BFC的一個法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),又 =( ,0), =(0, , ),

得其中一個 =(1,﹣ ,1),

設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,由題意知θ為銳角,則

cosθ=|cos< , >|=| |=

因此sinθ= = ,即所求二面角正弦值為


【解析】(1)以B為坐標原點,在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,得到E、F、B、C點的坐標,易求得此 =0,所以EF⊥BC;(2)設(shè)平面BFC的一個法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),依題意,可求得一個 =(1,﹣ ,1),設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,可求得sinθ的值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè),函數(shù),函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當時,不等式恒成立,求的最小值.

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【題目】現(xiàn)有甲、乙兩個項目,對甲項目每投資10萬元,一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為;已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中,價格下降的概率都是p(0<p<1),設(shè)乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行兩次獨立的調(diào)整.記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X,對乙項目每投資10萬元,X取0、1、2時,一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量X1X2分別表示對甲、乙兩項目各投資10萬元一年后的利潤.

(1)求X1X2的概率分布和均值E(X1),E(X2);

(2)當E(X1)<E(X2)時,求p的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)上的增函數(shù).當實數(shù)取最大值時,若存在點,使得過點的直線與曲線圍成兩個封閉圖形,且這兩個封閉圖形的面積總相等,則點的坐標為( )

A. B. C. D.

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【題目】某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:

出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;

(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值;

(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.

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【題目】從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本,分別統(tǒng)計出這些試卷總分,由總分得到如下的頻率分別直方圖.

(1)求這100份數(shù)學(xué)試卷成績的中位數(shù);

(2)從總分在的試卷中隨機抽取2份試卷,求抽取的2份試卷中至少有一份總分少于65分的概率.

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【題目】如圖,矩形是一個歷史文物展覽廳的俯視圖,點上,在梯形區(qū)域內(nèi)部展示文物,是玻璃幕墻,游客只能在區(qū)域內(nèi)參觀.在上點處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭.為監(jiān)控角,其中、在線段(含端點)上,且點在點的右下方.經(jīng)測量得知:米,米,米,.記(弧度),監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域的面積為平方米.

(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;(參考數(shù)據(jù):

(2)求的最小值.

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【題目】如圖,已知雙曲線C: ﹣y2=1(a>0)的右焦點為F,點A,B分別在C的兩條漸近線AF⊥x軸,AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標原點).

(1)求雙曲線C的方程;
(2)過C上一點P(x0 , y0)(y0≠0)的直線l: ﹣y0y=1與直線AF相交于點M,與直線x= 相交于點N.證明:當點P在C上移動時, 恒為定值,并求此定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列的前項和為,,,數(shù)列滿足:,.

(1)求;

(2)求數(shù)列的通項公式及其前項和

(3)記集合,若的子集個數(shù)為32,求實數(shù)的取值范圍.

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