Question

【題目】已知函數(shù)（），.

(1)若對(duì)任意的，，都有恒成立，試求m的取值范圍；

(2)用表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)（），討論關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，即來(lái)研究函數(shù)的最值，再分當(dāng)，，時(shí)三種情況分分類討論求解.

（2） 將方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)研究，根據(jù)函數(shù)的定義，分，，，即，，三種情況下，對(duì)討論.

（1），

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，，

所以，

解得，不合題意舍去，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，

而，，

所以有，

解得，即，

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

，，

，

解得，不合題意，

.綜上所述，m的取值范圍為.

（2）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

①當(dāng)時(shí)，，所以，

所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，即方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解；

②當(dāng)時(shí)，，，

若，即時(shí)，

，所以是函數(shù)的零點(diǎn)，

即方程有一實(shí)數(shù)解，

若，即，

，所以此時(shí)不是函數(shù)的零點(diǎn)，

即方程此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)解；

.③當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

則由得，即問(wèn)題等價(jià)于直線與函數(shù)，圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

由于對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

結(jié)合，的圖象可知，

當(dāng)時(shí)，與函數(shù)，的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，

即函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，即方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解；

當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)實(shí)數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

當(dāng)或時(shí)，方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

當(dāng)時(shí)，方程在上有三個(gè)實(shí)數(shù)解.