Question

（本小題滿分14分）
動(dòng)圓G與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓圓心G的軌跡為。
（1）求曲線的方程；
（2）直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，以為直徑作圓，若圓C與軸相交于兩點(diǎn)，求面積的最大值；
（3）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線（不垂直軸）與曲線相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若試探究的值是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）；（2）；(3)。

本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓方程的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）  利用圓圓位置關(guān)系，得到圓心距與半徑的關(guān)系式，從而得到點(diǎn)的軌跡方程。
（2）  設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論。
（3）  設(shè)直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用過(guò)圓心得到垂直關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論。
解：（1）設(shè)圓G的半徑為r，依題意得：，
所以，所以G點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，

所以曲線的方程是………… 4分
（2）依題意，圓心為．
由 得.    ∴ 圓的半徑為．     
∵ 圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，且圓心到軸的距離，
∴ ，即．                 
∴ 弦長(zhǎng)  ∴的面積

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值是   ………………… 8分
(3)依題意，直線的斜率存在，設(shè)，，，則
由消得：，
則 ①   ②
由得，所以
又不垂直軸，所以，故，同理；
所以=，
將①②代入上式得………………… 14分