Question

【題目】如圖，F(xiàn)1 ， F2分別是橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓C的上頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2=60°

（1）求橢圓C的離心率；
（2）若a=2，求△AF1B的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，△AF1B為等邊三角形，

∴a=2c，

∴e= = = ，

橢圓C的離心率

（2）解：由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，則b2=a2﹣c2，b= ，

∴橢圓方程為： ，

∴A（0， ），F(xiàn)2（1，0），

∴直線AC的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣ ，

∴直線AC的方程為y﹣0=﹣ （x﹣1）=﹣ x+ ，

∴ ，解得： 或 （舍）

∴點B的坐標(biāo)為（ ，﹣ ），

所以

= + = 丨F1F2丨丨AO丨+ 丨F1F2丨丨yB丨= 2 + 2 = ，

∴△AF1B的面積 ．

【解析】（1）由題意可知：△AF1B為等邊三角形，因此a=2c，e= = = ，即可求得橢圓C的離心率；（2）由題意題意可知：當(dāng)a=2，則c=1，由b2=a2﹣c2=3，即可求得橢圓方程，由直線的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣ ，即可求得直線方程，代入橢圓方程，即可求得B點坐標(biāo)，由 = + = 丨F1F2丨丨AO丨+ 丨F1F2丨丨yB丨，代入即可求得△AF1B的面積．