【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).

1)若曲線在點處的切線與直線垂直,求的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)有兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍;

3)證明:當(dāng)時,.

【答案】(1)上單調(diào)遞增,無單調(diào)減區(qū)間;(2);(3)證明見詳解.

【解析】

1)由題意可得切線斜率,也即,據(jù)此求得參數(shù),再求的單調(diào)區(qū)間即可.

2)若滿足題意,只需有兩個實數(shù)根,分離常數(shù),整理可得只需直線與函數(shù)有兩個交點即可,數(shù)形結(jié)合即可求得.

3)根據(jù)(1)中所求,,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值,即可證明.

1,故可得

由題可得,代值可得,解得.

,則,

,解得,

在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

,

即可得上單調(diào)遞增,無單調(diào)減區(qū)間.

2)函數(shù)有兩個極值點,等價于有兩個不同的實數(shù)根.

也即有兩個實數(shù)根,

即可理解為直線與函數(shù)的圖像有兩個交點.

,令,解得

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.

,

又當(dāng)時,,且趨于正無窮時,趨于0,

當(dāng)趨于負(fù)無窮時,趨于負(fù)無窮,

故在同一直角坐標(biāo)系中繪圖如下:

數(shù)形結(jié)合可知,要滿足題意,只需即可.

的取值范圍為.

3)由(1)可知,當(dāng)時,,又,

故可得

要證不等式成立,

只需證當(dāng)時,即可.

也就是證當(dāng)時,即可.

,

因為當(dāng)時,,故可得,

即可得上單調(diào)遞增,

.

即證當(dāng)時,,

故當(dāng)時,成立,即證.

練習(xí)冊系列答案
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