Question

【題目】已知a為實常數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a≤1，函數(shù)f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣a，

當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在R遞增，

當a＞0時，f′（x）=ex﹣a，

令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，

故f（x）在（lna，+∞）遞增，在（﹣∞，lna）遞減，

綜上，a≤0時，函數(shù)f（x）在R遞增，

a＞0時，f（x）在（lna，+∞）遞增，在（﹣∞，lna）遞減

（2）解：由（1）得，a≤0時，函數(shù)f（x）在R遞增，不可能有2個零點，

當0＜a≤1時，函數(shù)f（x）在（﹣∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增，

故f（lna）為函數(shù)f（x）的最小值，

令k（a）=f（lna）=a﹣alna﹣1，a＞0，

k′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，

令k′（x）＞0，解得：0＜a＜1，

故函數(shù)k（a）在（0，1）遞增，且k（1）=0，

故a∈（0，1）時，f（lna）＜0，

令m（a）=lna﹣（﹣ ）=lna+ ，a∈（0，1），

m′（a）= ＜0，

∴m（a）在（0，1）遞減，

∴m（a）＞m（1）＞0，

即a∈（0，1）時，﹣ ＜lna＜0，

由于f（﹣ ）= ＞0，f（0）=0，

當a∈（0，1）時，函數(shù)f（x）有2個零點

【解析】（1）利用導函數(shù)討論原函數(shù)的增減性。（2）根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)在指定區(qū)間上的最值，進而得到函數(shù)在具體區(qū)間上的增減性，故可證明當a∈（0，1）時，函數(shù)f（x）有2個零點。
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．