Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的圖象與x軸相交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）兩點，且x1＜x2 ．
（I）若函數f（x）的最大值為2，求m的值；
（Ⅱ）若 恒成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）證明：x1x2＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣x+m，

∴f′（x）= ﹣1=

當x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

∴f（x）max=f（1）=ln1﹣1+m=2，

解得m=3，

（Ⅱ）當x＞1時，f（x）＜k（1﹣ ）+xf′（x）+m﹣2，（k≤2）恒成立，

∴l(xiāng)nx﹣x+m＜k（1﹣ ）+1﹣x+m﹣2恒成立，

∴（lnx+1）＞k（x﹣3），k≤2，（*）

∵當x＞1時，（*）恒成立，

當x＞1時，（lnx+1）﹣k（x﹣3）＞0恒成立，

令g（x）=（lnx+1）﹣k（x﹣3），

∴g′（x）=lnx+2﹣k，

∵x＞1，k≤2，

∴g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，+∞）單調遞增，

∴g（x）＞g（1）=1+2k＞0，

∴k＞﹣ ，

即k的取值范圍為（﹣ ，2]；

（Ⅲ）函數f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的圖象與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1＜x2．

結合（Ⅰ）可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），

∴ ∈（0，1），

∵f（x1）=f（x2），

∴l(xiāng)nx1﹣x1=lnx2﹣x2，

∴f（x1）﹣f（ ）=lnx1﹣x1+lnx2+ =lnx2﹣x2+lnx2+ =2lnx2﹣x2+ ，

令h（x）=2lnx﹣x+ ，x＞1，

∴h′（x）= ﹣1﹣ =﹣ =﹣ ＜0，

∴h（x）在（1，+∞）上單調遞減，

∴h（x）＜h（1）=0，

∴f（x1）﹣f（ ）＜0，

∴f（x1）＜f（ ），

∵函數f（x）在（0，1）上單調遞增，

∴x1＜ ，

∴x1x2＜1

【解析】（1）利用導數討論函數f（x）的單調性，從而求出f（x）的最大值；（2）構造函數g（x）=（lnx+1）-k（x-3），利用導數討論g（x）在（1，+）內的單調性；（3）結合（1）確定x1、x2的取值范圍，根據f（x1）=f（x2）找出x1與x2之間的關系，構造函數h（x）=2lnx-x+，利用導數討論函數h（x）在（1，+）內的單調性.
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．