Question

【題目】在三棱錐中，，，，，點(diǎn)D在線段AB上，且滿足.

（1）求證：

（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）首先取的中點(diǎn)，連接，，易證平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可證明.

（2）過點(diǎn)作于O，連，，易證，得到，從而得到為二面角的平面角，且.設(shè)，利用余弦定理得到，根據(jù)得到

，利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換得到到面的距離為的值，再求直線與平面所成角即可.

（1）取的中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以.

平面.

平面，所以.

（2）過點(diǎn)作于O，連，

因?yàn)?/span>，，為公共邊，

所以，即.

所以為二面角的平面角，

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以.

令，則，，

.

平面平面，，所以平面.

平面，.

在中，由，

得，，所以，得.

又因?yàn)?/span>，記到面的距離為，

，.

.

則，

記直線與平面所成角為，則.